Lignes parallèles dans le plan et dans l'espace

Sur un plan, les lignes sont appelées parallèles si elles n'ont pas de points communs, c'est-à-dire qu'elles ne se croisent pas. Pour désigner le parallélisme, utilisez l'icône spéciale || (lignes parallèles a || b).

Pour les lignes situées dans l'espace, les exigencesl'absence de points communs ne suffit pas - pour qu'ils soient parallèles dans l'espace, ils doivent appartenir au même plan (sinon ils se croiseront).

Il n'est pas nécessaire d'aller bien au-delà des exemples de droites parallèles, ils nous accompagnent partout, dans la pièce - ce sont les lignes d'intersection du mur avec le plafond et le sol, sur la tétrade - bords opposés, etc.

Il est tout à fait évident que, ayant le parallélisme de deux droites et d'une troisième droite parallèle à l'une des deux premières, il sera parallèle et le second.

Les lignes parallèles sur le plan sont connectéesune affirmation qui ne peut être prouvée à l'aide d'axiomes de planimétrie. Il est pris comme un fait, comme un axiome: pour tout point sur un plan ne se trouvant pas sur une ligne, il y a une seule ligne droite qui le traverse parallèlement à celui donné. Chaque élève de sixième connaît cet axiome.

Sa généralisation spatiale, c'est-à-direl'affirmation que pour tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne, il y a une ligne droite unique qui la traverse parallèlement à une ligne donnée peut être facilement démontrée au moyen de l'axiome de parallélisme déjà connu sur le plan.

Propriétés des lignes parallèles

• Si l'une des deux droites parallèles est parallèle à la troisième, elles sont parallèles entre elles.

Les lignes droites parallèles dans le plan et dans l’espace ont cette propriété.
A titre d'exemple, considérons sa justification en stéréométrie.

Supposons des lignes parallèles b et une ligne a.

Le cas où toutes les lignes droites se trouvent dans le même plan quittera la planimétrie.

Supposons que a et b appartiennent au plan betta et que gamma est le plan auquel appartiennent a et c (par définition du parallélisme dans l'espace, les droites doivent appartenir à un seul plan).

Si nous supposons que l'avion betta et gammadifférent et marquez sur une droite b du plan betta un certain point B, puis le plan tracé par le point B et la droite c doivent traverser le plan betta en ligne droite (on le note b1).

Si la ligne droite résultante b1 coupe le plangamma, donc, d’une part, le point d’intersection devrait être situé sur a, puisque b1 appartient au plan betta, et d’autre part, il doit appartenir à c, puisque b1 appartient au troisième plan.
Mais les lignes parallèles a et c ne doivent pas se croiser.

Ainsi, la droite b1 doit appartenir au plan betta et ne pas avoir en même temps de points communs avec a, donc, selon l’axiome du parallélisme, elle coïncide avec b.
Nous avons obtenu la ligne b1 qui coïncide avec la droite b, qui appartient au même plan que la droite c et ne la coupe pas, c'est-à-dire que b et c sont parallèles.

• Par un point qui ne se trouve pas sur une ligne donnée parallèle à une ligne donnée, une seule ligne droite peut passer.

• Situées dans un plan perpendiculaire à la troisième, deux droites sont parallèles.

• Sous la condition d'intersection du plan de l'une des deux droites parallèles, la deuxième droite coupe également le même plan.

• Les angles internes correspondants et transversalement formés par l’intersection de deux droites droites sont parallèles, la somme des lisses internes formées dans ce cas est de 180 °.

Les affirmations inverses sont également vraies, ce qui peut être considéré comme une indication du parallélisme des deux droites.

Etat des lignes parallèles

Les propriétés et caractéristiques ci-dessusreprésentent les conditions de parallélisme des lignes droites, et elles peuvent être complètement prouvées par les méthodes de la géométrie. En d'autres termes, pour prouver le parallélisme des deux droites existantes, il suffit de prouver leur parallélisme par la troisième droite ou par l'égalité des angles, qu'ils soient correspondants ou en croix, etc.

Pour la preuve utilisez principalement la méthode«Par contradiction», c'est-à-dire avec l'hypothèse que les lignes droites sont non parallèles. Sur la base de cette hypothèse, il est facile de démontrer que, dans ce cas, les conditions spécifiées sont violées. Par exemple, les angles internes sous-jacents transversaux se révèlent être inégaux, ce qui prouve le caractère erroné de l'hypothèse formulée.